[선형대수학 정리] 11. Left Null Space

1. 배경

 

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그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!
 
Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.
 

https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

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2. 정리

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해당 포스트는 이전 포스트

[선형대수학 정리] 10. Null Space와 이어진다.

https://dev-check.tistory.com/42

[선형대수학 정리] 10. Null space

 

 

$$Ax = 0$$

이를 만족하는 x가 Null Space이고

이 Null Space와 Column Space 간에 다음 공식이 성립함을 살펴보았다.

m x n 행렬 A에 대해 dim(N(A)) = n - r  (r = rank(A), N(A) = Null space)

 

그럼 그 관점 그대로

$$x^{T}A$$

 

을 row space로 바라본다면

$$x^{T}A = 0^{T}$$ 을 만족하는 x의 집합을 left null space라 한다.

 

**참고로, Ax = 0과 달리 x의 전치행렬이 왼쪽으로 왔으니 "left" null space 이다.

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그러면 m x n 행렬 A에 대해

Ax = 0에선 row space와 Null space가 서로 수직했던 것처럼

 

$$x^{T}A = 0^{T}$$

 

에서는 column space와 left null space가 서로 수직한다. (교점은 영벡터)

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그럼 이 관계에선 row 끼리 Linear combination을 해야 하므로

m x n 행렬 A에 대해 dim(N(A)) = n - r  (r = rank(A), N(A) = Null space) 을 본따서

 

left null space의 dimension을 dim(N_{L}(A))이라 표기한다면

m x n 행렬 A에 대해 $$dim(N_{L}(A))=m-r$$ (r = rank(A), N_{L}(A) = Left null space)

 

이라는 공식을 도출해낼 수 있다.

 

그러면, 방금 본 dim(N_{L}(A)) = n-r 에서

r은 column space의 dimension이기도 하니까 좌로 넘겨서

 

$$r+dim(N_{L}(A))=dim(C(A))+dim(N_{L}(A))=n$$

 

이라는 공식도 유도할 수 있다.

 

공간이동

 

• row space와 Null space는 항상 수직
• column space와 Left null space는 항상 수직

이 두가지 성질을 공간 상에서는 아래와 같이 나타낼 수 있을 것이다.

 

 

행공간에 있는 열벡터 x_{r}이 있고, 그 값에 A를 dot product하면

Ax를 A의 열벡터의 Linear Combination이기도 하므로

Ax_{r}은 열공간에 있는 행벡터로 공간 이동하는 그림이 그려진다.

 

한편, Null Space의 한 벡터 x_{n}에 대해 A를 dot product하면

Ax = 0을 만족하는 x가 Null space의 x_{n}이므로

0벡터로 이동하는 그림이 그려진다.