[선형대수학 정리] 12. rank 별 해의 수

1. 배경

 

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그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!
 
Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.
 

https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

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2. 정리

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행렬의 rank가 어떻냐에 따라

 

$$Ax = b$$

 

을 만족하는 해의 특징을 정리해보려 한다.

 

 

먼저, full column rank 이다.

 

Ax = b에서 A가 10x3 이라 한다면, full column rank이므로 10차원에서 r = 3.

즉, A의 column들이 10차원 공간에서 3차원을 span하고,

이 span하는 column space를 C(A)라 하자.

 

A의 column들이 10차원 공간에 있듯이

b 역시 10차원 공간의 벡터이고, 다음이 성립한다.

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• b가 만약 C(A) 안에서 존재하면 Ax=b를 만족하는 Ax 가 하나 존재한다.
• b가 만약 C(A) 밖에 존재하면 Ax=b를 만족하는 Ax 가 존재하지 않는다.

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따라서, full column rank일 때는 해가 한 개거나 없다.

 

 

이번엔 full row rank이다.

 

Ax = b에서 A가 3x10이라 하면, full row rank이니 3차원에서 r=3.

즉, A의 column들이 3차원에서 3차원 공간 전체를 커버하며 span하고

b 역시 3차원 상의 벡터.

 

그러면 A의 column들이 존재하는 column space C(A)에 대해

b가 속해있지 않는 경우는 불가하고, 다음이 성립한다.

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• C(A)에 대해, b가 속해있지 않는 경우는 불가하다.
• C(A)의 속한 Ax가 b를 만족하는 경우는 무조건 존재하며, 해는 무한하다.

Ax = b 를 만족하는 해가 존재하는 것은 이해하는데왜 그 해가 무한할까? 다음 내용을 보자.

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앞서, 3x10인 A에 대해 r = 3, n = 10이므로

dim(N(A)) = 10 - 3 = 7.

 

그럼 이 null space 안의 임의의 벡터를 x_{n}이라 하면

당연히 다음이 성립한다.

 

$$Ax_{n} = 0$$

 

그리고 앞서 Ax = b인 해가 무조건 있다 했으니, 이 해를

particular solution이라 하고, x_{p}라 하자.

 

$$A(x_{n}+x_{p})=0+b=b$$

 

그러면 x_{n}+x_{p}는 complete solution이라 하고,

이런 x_{n}이 무한하니

 

$$A(x_{n}+x_{p})=b$$

 

를 만족하는 x_{n}도 무한하다.

그래서 Ax=b를 만족하는 해가 무한해진다.

 

 

full rank일 때는 매우 쉽다.

invertable하므로 역행렬이 있어서 x = A^{-1}b를 만족하는 해가 무조건 한 개 존재하기 때문.

 

• full rank는 invertable하므로 무조건 역행렬이 있으니, 해가 하나 있다.

 

 

 

마지막으로, rank-deficient할 때를 살펴보자.

 

우선, rank-deficient하므로 b는 Column space보다 더 큰 차원에 존재한다.

 

그러면 Column space C(A)에 대해 그 공간에 b가 포함되지 않는 경우가 생기고,이 경우 해가 없다.

 

반면, C(A)에 b가 포함된다면 Ax=b를 만족하는 해가 무조건 존재하고,앞서 full row rank 때와 같이 Ax_{n} = 0을 만족하는 x_{n}이 무수히 많아해가 무수히 많게 된다.

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• b가 만약 C(A) 안에서 존재하면 Ax=b를 만족하는 Ax 가 무조건 존재하며, 무수히 많이 존재한다.
• b가 만약 C(A) 밖에 존재하면 Ax=b를 만족하는 Ax 가 존재하지 않는다.

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이건 방금 정리한 내용 관련 문제를 푼 것이다.

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• (나) 조건을 보면 해가 존재하지 않는 경우가 발생하니, full rank는 아니다.
• (가) 조건을 보면 해가 존재하는 경우가 발생하니 rank=0은 아니다.

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그럼 rank는 1이거나 2인데, 이 공간이 원점과 [1 2 b]^{-1}을 지나는 것은 자명하다.

 

근데 이 두 점을 지나는 평면(r=2)일 경우, 움직이다가

[1 1 b]^{-1}을 무조건 지나게 되니까 불가능.

 

따라서, rank=1이 가능하다.