[선형대수학 정리] 10. Null space

1. 배경

 

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그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!
 
Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.
 

https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

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2. 정리

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Null space (영공간)

 

$$Ax = 0$$

을 만족하는 x의 집합을 Null space라 한다.

 

정의는 엄청 간단하다..

 

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1
\\0 & 1 & 1
\end{bmatrix}

 

같은 2x3 행렬 A가 있다 하자.

r=2이고, rank 값과 row 수가 같으니 full row rank이다.

 

 

그럼 Ax = 0을 만족해야 하니

각 column과 x의 각 vector가 곱해진 형태가 0이 되어야 한다.

 

그 경우, x는 위와 같이

 

\begin{bmatrix}
1\\
1\\
-1
\end{bmatrix}

 

의 스칼라배를 계속한 상태로 생각할 수 있으며

이 x의 차원은 1차원이므로, Null Space 역시 1차원이다.

 

 

이번엔 행렬 A가

 

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

 

처럼 rank=1이고, rank-deficient한 행렬이라 하자.

 

이 경우, Ax=0을 만족하는 x는 2가지 vector 가 나올 수 있고,

x_{n}은 이 두 vector 들의 합으로 나타낼 수 있다.

 

 

따라서, 두 vector로 이루어진 이 Null space는 2차원이다.

 

 

Null Space의 차원에 대해 Column 수와 rank를 이용한 공식

m x n 행렬 A에 대해 dim(N(A)) = n - r  (r = rank(A), N(A) = Null space)

 

이번엔 2x3 행렬 A가

 

 

\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}

 

 

처럼 주어졌다고 하자.

r = 2이며, full row rank이다.

 

이런 A에 대해 Ax=0을 만족하는 경우는 오직 0벡터 뿐이다.

이는 곧 한 점만을 의미하므로 Null Space는 0차원이다.

 

앞서 살펴본 공식처럼 n=2, r=2이므로

dim(N(A)) = 2 - 2 = 0 이라는 해석도 가능하다.

 

 

Column과 Null space의 차원 간의 관계는 이 공식을 통해 알게 되었다면

row space와의 관계는 어떨까?

 

 

Null Space와 row space는 수직

 

$$Ax = 0$$

 

이 식을 A의 row 벡터와 x 벡터 각각을 내적한 결과로 보면

 

A의 1행과 x를 내적한게 0벡터.

A의 2행과 x를 내적한게 0벡터.

 

그럼, 1행과 2행을 Linear Combination한 것과 x를 내적해도 0벡터.

 

결국, row space 전체와 Null Space는 항상 수직하다.

 

 

그러면, 방금 본 dim(N(A)) = n-r 에서

r은 row space의 dimension이기도 하니까 좌로 넘겨서

 

$$r+dim(N(A))=dim(R(A))+dim(N(A))=n$$

 

이라는 공식도 유도할 수 있다.

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분량 조절 실패로

Left Null Space 개념은 다음 포스트에서 다뤄보도록 하겠다.

 

https://dev-check.tistory.com/43

[선형대수학 정리] 11. Left Null Space