[선형대수학 정리] 9. 행렬의 rank

1. 배경

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그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!
 
Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.


https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

GitHub - utilForever/game-developer-roadmap: Roadmap to becoming a game developer in 2022

2. 정리

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rank : 행렬이 가지는 independent한 column의 수

 

앞서 살펴본 것처럼행렬에서 independent한 column의 수가 2개면, 2차원을 span할 수 있다.

 

이는 곧 rank = 2일 때, column space의 dimension이 2차원 이라는 의미이다.

 

 

그리고, 행렬에서 independent한 column의 수는

곧 independent한 row의 수와 같다.

 

따라서, rank는 row space의 dimension 이기도 하며

$$rank(A) = rank(A^{T})$$ 가 성립한다.

 

 

위의 행렬을 예시로 살펴보자.

첫번째 행렬은 세 column이 모두 평행하니 dependent하다.

즉, column space는 2x3 행렬이니 2차원에서 1차원을 span한다.

따라서, rank = 1

 

2차원 공간에서 1차원만 span하는 것처럼 rank가 주어진 공간보다 작으면 rank-deficient라 한다.

 

두번째 행렬은 세 column이 모두 independent하다.

그러나 2x3 행렬이니 2차원 공간이므로, row space 관점에서 2차원만 span한다.

따라서, rank = 2

 

m x n 행렬에서 rank가 row 수 m 과 같으면 full row rank 라 한다.

 

 

full row rank vs full column rank

 

full row rank를 방금 잠깐 봤기 때문에 헷갈릴 수 있어서 위의 예시들을 같이 살펴보자.

 

첫번째 행렬은 3x2 행렬인데 rank = 2이다.

column 수와 rank가 2로 같으므로, 이 경우 full column rank이다.

 

두번째 행렬은 3x3 행렬인데 rank = 3이다.

column 수와 row 수, rank가 모두 3으로 같으니, 이 경우 full rank라 한다.

 

반면 2x3 행렬인데 rank = 2라면

row 수와 rank가 2로 같으므로, 이 경우 full row rank이다.

 

마지막 행렬은 3x3 행렬인데 rank = 2로

row 수와 column 수보다 row가 작다. 이 경우 rank-deficient라 한다.