[선형대수학 정리] 2. 전치

1. 배경

 

 

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그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!

 

Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.

 

https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

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2. 정리

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전치

 

행렬 A의 성분 a_{i, j}에 대해

전치행렬 A^{T}는 성분 a_{j ,i}를 갖는다.

 

🔔 대각선에 놓인 성분들은 i = j라 전치해도 그대로이고, 이런 성분들을 diagonal 하다고 한다.

**diagonal하지 않은 원소는 off-diagonal 하다고 함.

 

 

행벡터를 열벡터로 바꾸고,

열벡터를 행벡터로 바꿀 때 전치를 많이 사용한다고 함.

 

 

전치의 성질

 

전치와 관련된 여러 성질을 살펴보자.

 

① A^{T}를 전치하면 A

② (A + B)를 전치하면 A^{T} + B^{T}

→ 전치의 정의를 생각해보면 당연한 결과이다.

 

**참고로,

$$\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3\\
\end{bmatrix}
$$

 

처럼 전치해도 동일한 행렬은

symmetric matrix (대칭 행렬)라고 한다.

 

③ (AB)^{T} = B^{T} A^{T}

→ 이 성질에 의해

 

$$A^{T}A,  AA^{T}$$

 

는 전치를 했는데도 자기 자신이 나오므로

이 두 행렬 역시 symmetric matrix이다.

 

이외에도

④ 상수 c에 대해 (cA)^{T} = cA^{T}

⑤ det(A^{T}) = det(A)

⑥ (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}

 

와 같은 성질들이 있다.

 

*** 참고로, 복소수를 갖는 행렬 𝐴 에 대해

𝐴 의 각 원소에 켤레를 취한 행렬을 '𝐴의 켤레 행렬(conjugate of 𝐴)'이라 하고,

 

𝐴의 켤레 행렬(conjugate of 𝐴)에 전치를 시킨게

𝐴와 같다면 에르미트 행렬(Hermitian matrix) 이라고 한다.