[선형대수학 정리] 15. trace

1. 배경

 

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그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!
 
Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.
 

https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

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2. 정리

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trace 

 

 

정의) 정사각행렬의 대각성분들을 싹 다 더하는 것.

 

표기) $$tr(A) =  \sum^{n}_{i=1}a_{ii}$$

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trace의 property

 

trace의 property를 정리해보자.

 

 

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① 행렬 A와 B의 trace 값을 합한 것은 행렬 A와 B를 합한 행렬의 trace와 같다.

$$tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$$

 

② 행렬 A에 상수배한 것의 trace 값은 행렬 A에 trace에 상수배를 한 것과 같다.

$$tr(cA)=c tr(A)
③ 행렬 A와 행렬 A의 전치행렬의 trace 값은 같다.

 

$$tr(A^{T})=tr(A)$$

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④ 행렬 A와 B의 곱의 trace 값은 행렬 B와 A의 곱의 trace 값과 같다.

$$tr(AB)=tr(BA)$$

⑤ 행렬 a의 전치행렬과 b를 곱한 것의 trace값은 행렬 b와 a의 전치행렬을 곱한 것의 trace 값과 같다.

$$tr(A^{T}B)=tr(BA^{T})$$

 

⑥ **Cyclic property (매우 중요)

$$tr(ABCD)=tr(DABC)=tr(CDAB)=tr(BCDA)$$

 

**순서 중요.

$$tr(ABC) \neq tr(ACB)$$

⑦ 행렬 A의 trace 값은 고유값들의 합과 같다.

$$tr(A) = \sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}$$