[선형대수학 정리] 14. determinant (행렬식)

1. 배경

 

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그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!
 
Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.
 

https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

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2. 정리

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determinant (행렬식)

 

정의) 정사각행렬에 특정한 방법으로 스칼라를 대응하는 하나의 함수

 

즉, 행렬마다 갖고 있는 특정한 값을 나타내는 것이다.

 

 

다음 연립일차 방정식을 푼다고 하자.

그러면 y를 소거하기 위해 y의 계수를 같게 만들어보자.

 

그럼 여기서 나온 ad-bc = 0 이라는 식이 나오는데

행렬식으로 이 계수의 곱의 뺄셈을 표기할 수 있다.

 

 

따라서, 다음과 같은 2 x 2행렬 A에서는 다음 행렬식이 만족한다.

 

\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}

 

$$det(A) = ad - bc$$

 

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방금 2 x 2행렬에서 보인 것처럼 같은 방식으로 식을 전개해 구해보면

다음과 같은 3 x 3 행렬 A에 대해서 다음 행렬식이 만족한다.

 

\begin{bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i
\end{bmatrix}

 

$$det(A) = a(ei - fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$$

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determinant (행렬식) 관련 property

 

① det(A) = 0 은 A가 invertable하지 않다 (=A가 singular하다, 역행렬이 없다)를 의미한다.

② det(A) = 0은 A가 rank-deficient 함을 의미한다.

 

③ 대각행렬 A에 대해 다음이 성립한다.

$$det(A) = a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$$

④ **삼각행렬 A에 대해 다음이 성립한다.

$$det(A) = a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$$

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**삼각행렬 (triangular matrix)

: 대각성분을 기준으로 한쪽 성분들이 전부 0인 정방행렬.

 

• 만약 위쪽 성분들이 전부 0이면 아래쪽 성분들이 존재하니 lower triangular matrix라 함.
• 만약 아래쪽 성분들이 전부 0이면 위쪽 성분들이 존재하니 upper triangular matrix라 함.

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⑤ 항등행렬 I에 대해 det(I) = 1 (③번 성질에 의한 계산)

⑥ 행렬 A가 n x n일 때 다음이 성립한다.

$$det(cA) = c^{n}det(A)$$

 

⑦ 행렬 A의 전치행렬의 det값과 A의 det값은 같다.

 

$$det(A^{T})=det(A)$$

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⑧ 행렬 A와 B에 대해 다음이 성립한다.

$$det(AB) = det(A)det(B)$$

 

⑨ ③번, ⑧번 성질을 이용하여 다음 식을 이끌어낼 수 있다.

$$det(A^{-1}) = 1 / det(A) \quad (\because 1 = det(I))$$

 

⑩ 행렬 A의 **고유값  λ 에 대해 다음 식이 성립한다.