[선형대수학 정리] 13. 가우스-조던 소거법

1. 배경

 

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그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!
 
Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.
 

https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

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2. 정리

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가우스 조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)

 

연립일차 방정식 풀이를 잘 정리한 것이다."가우스 조던 소거법" 이라는 이름이 가장 어렵다.

 

 

기존에는 계수를 담은 행렬, 변수와 상수항을 담은 벡터로 썼지만

계수 부분만 보면 되니까 확장행렬(혹은 증강행렬) 방식을 통해

더 간결하게 표현할 수 있다.

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그럼 가우스 조던 소거법을 적용하기 위해 세가지 규칙을 따른다.

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1. 양변에 0이 아닌 상수배를 해준다.
2. 상수배한 행을 다른 행에 더하거나 뺀다.
3. 행끼리 자리 바꾼다.

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이 규칙을 이용하면 역행렬 공식도 증명할 수 있다.

주어진 행렬 A와 항등행렬을 하나의 확장행렬로 만들고,

좌측 부분을 항등행렬로 만들면 우측 부분이 역행렬에 해당한다.

 

좌측 부분을 항등행렬로 만들고자

가우스 조던 소거법의 규칙을 적용할 수 있다.

 

 

만약 역행렬의 계수 부분의 분모 (ad - bc)가 0이라면?

역행렬 정의가 안 되니까 행렬 A는 invertable하지 않다.

 

즉, (ad-bc)값이 0인지 아닌지 만으로 행렬 A의 invertable 여부를 판단할 수 있다.

그래서 이 값을 determinant (행렬식)라 한다.

 

determinant (행렬식)에 대해서는 아래 포스트에서 더 자세히 다루겠다.

https://dev-check.tistory.com/46

[선형대수학 정리] 14. determinant (행렬식)

 

 

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아무튼 정사각행렬 A가 invertable하다는 다음 내용과 동치.

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• det(A)가 0이 아니다. (ad-bc=0이면, 역행렬 정의가 안되기 때문에 invertable하지 않다.)
• A가 full rank이다. (즉, det(A)=0이면, A는 rank-deficient)
• Null space가 0벡터이다. (full rank이면, null space는 영벡터니까.)

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