[선형대수학 정리] 7. 항등행렬과 역행렬

1. 배경

 

---

그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!

 

Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.

 

https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

.

2. 정리

---

 

 

항등원

 

"항등원"은 비교적 익숙한 개념이다.

어떤 계산을 해도 자기 자신이 나오는 수로,

곱셈의 항등원은 1이고, 덧셈의 항등원은 0이다.

 

그럼 행렬에도 항등원 같은 역할을 하는게 있지 않을까?

이걸 항등행렬 (Identity matrix)라 부르고, 기호로는 대문자 I로 표현한다.

 

 

 

항등행렬 (Identity matrix)

 

항등행렬 I는 대각성분이 전부 1이고,

나머지가 0인 정사각 행렬이다.

 

가령 2x3의 행렬 A가 있다면

행렬 A에 대한 항등행렬 I는 3x3이어야 하므로

 

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

 

 

 

와 같이 된다. (column space 관점)

 

 

근데 곱셈의 항등원이 어떤 수 앞에 곱해지든 뒤에 곱해지든

위치와 무관하게 동일한 결과를 내듯이

항등행렬도 비슷하다.

 

다만, 2x3 행렬 A에 대해 앞에 붙으니 이번엔

2x2의 행렬 I여야 하므로

 

\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}

 

와 같은 형태로 된다. (row space 관점)

 

 

 

 

역원

 

역원도 우리가 이미 알고 있는 내용이다.

곱셈의 역원의 경우, 곱하면 1이 되게 하는 수를 의미한다,

 

그래서 3의 곱셈의 역원은 1/3인데, 이를 $$3^{-1}$$ 과 같이 쓸 수도 있다.

 

그래서 역행렬(Inverse matrix)도 행렬 A에 대해 $$A^{-1}$$ 과 같이 쓴다.

A가 어떤 행렬이냐에 따라 역행렬이 존재할 수도, 안 존재할 수도 있다.

 

🔔 만약 행렬 A의 역행렬이 존재한다면, A는 invertable하다고 한다.

 

 

 

역행렬

 

곱셈에선 역원을 곱하면 1이 되듯이

행렬은 역행렬을 곱하면 항등 행렬이 된다.

 

또한, 역행렬도 항등행렬처럼 곱하는 위치와 무관하게 성립하고

A가 n x n 행렬이면 A의 역행렬도 n x n 행렬이다.

 

 

그럼 ax = b에서 우리가 양변을 a로 나눠서

$$x=b/a=a^{-1}b$$라고 구하듯이

 

$$Ax=b$$에서 양변에 역행렬을 곱해서

좌변은 항등행렬과 x의 곱으로 만들면

$$x=A^{-1}b$$ 라고 x를 바로 구할 수 있다.

 

이렇게 어떤 행렬에 대해 역행렬이 있으면

우리가 찾고자 하는 x를 바로 구할 수 있다는 장점이 있다.

 

역행렬 관련 property

 

① 행렬 A에 행렬 B를 곱한의 곱의 역행렬은 B의 역행렬에 A의 역행렬을 곱한 것이다.

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

 

② 행렬 A의 역행렬의 역행렬은 행렬 A이다.

$$(A^{-1})^{-1} = A$$

 

③ 행렬 A에 상수배한 것을 역행렬하면 상수배는 역수가 된다.

$$kA^{-1} = 1/kA^{-1}$$

 

④ 행렬 A의 전치의 역행렬은 A의 역행렬의 전치와 같다.

$$(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$$

 

⑤ 역행렬의 determinant는 행렬 A의 determinant의 역수와 같다. 

$$det(A^{-1})=1/det(A)$$

 

**행렬의 determinant는 아래 포스트에서 더 자세히 다루겠다.

https://dev-check.tistory.com/46

[선형대수학 정리] 14. determinant (행렬식)