[선형대수학 정리] 5. 행렬의 곱셈과 Column Space

1. 배경

 

 

 

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그래픽스 공부에 들어가기 전, 근본 중에서도 근본인 선형대수학을 먼저 파야겠다고 생각했다!

 

Chris Ohk 님의 Game Developer Roadmap 2022를 보고 내가 부족한 부분을 채워나가기로 결심했기 때문이다.

 

https://github.com/utilForever/game-developer-roadmap

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2. 정리

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행렬의 곱셈

 

행렬의 곱셈을 살펴보자.

 

우리가 연립일차 방정식을 행렬에 썼고, 변수는 한 줄로 써서

이를 벡터라 불렀다.

 

근데, 계수가 동일한 또다른 연립일차 방정식을 가져오고얘도 같이 쓰고 싶다면..계수부분은 그대로 두고, 변수와 상수 벡터에같은 방향으로 써주면 된다!

 

그러면 벡터가 행렬이 되므로행렬의 곱셈이 된다.

 

주의사항

 

행렬은 곱할 때 앞에 있는 것과 뒤에 있는 것의 짝짜꿍이 맞아야 한다.앞 행렬의 행과 뒷 행렬의 열이 만나므로

앞 행렬의 행과 뒷 행렬의 열의 수가 동일해야만 한다.

 

🔔 그래서 행렬은 AB = BA 같은 교환법칙이 성립하지 않는다.

 

4 x 3 3 x 5 5 x 2 행렬 순으로 곱하면

그 결과는 4x2 행렬.

 

 

추가로, 행렬의 곱을 바라보는 네가지 관점을 언급.

 

① 내적으로 바라보기

행렬 A가 a1^{T}, a2^{T}, a3^{T}

이렇게 3개의 행벡터로 이루어져 있다고 하자.

 

그러면 행렬 A와 행렬 B의 곱은

각 성분들의 곱을 새로운 행렬의 자리에 쓰는 것과 같다.

 

② rank-1 matrix의 합

rank의 개념은 추후 포스팅에서 다루도록 하겠다.

우선은 행렬의 곱을 바라보는 관점 중 하나로,

 

행벡터와 같은 행렬 A와 행벡터로 이루어진 행렬 B의 곱은

각 성분들의 곱을 더한 것으로 나타낼 수 있다.

 

 

③ Column space로 바라보기

 

행벡터와 같은 모양의 행렬 A와 열벡터 x를 곱했을 때,

A의 각 성분(벡터) 에 붙은 x의 각 성분들은

A의 각 성분 벡터들을 스칼라 배한 것과 같다.

 

그러므로, 행렬 A가 어떤 성분을 갖느냐에 따라

이 행렬의 곱의 결과가 나타내는 공간의 dimesion이 달라진다.

 

이를 column space라고 한다.

column space에 대해서는 아래 포스팅에서 더 자세히 다루겠다.

https://dev-check.tistory.com/38

[선형대수학 정리] 6. Column space와 span

 

 

④ Row space로 바라보기.

 

앞에서 본 Column space와 동일하다.

 

열벡터와 같은 모양의 행렬 A와 행벡터 x를 곱했을 때,

A의 각 성분(벡터) 에 붙은 x의 각 성분들은

A의 각 성분 벡터들을 스칼라 배한 것과 같고,

 

행렬 A가 어떤 성분을 갖느냐에 따라

이 행렬의 곱의 결과가 나타내는 공간이 달라지며, 이를 Row space라고 한다.